3 points alignés

[zarquos]

Je vous propose un petit défi :
Calculer au plus juste la probabilité d'obtenir 3 points alignés sur la 989 de façon fortuite

On se contentera au début des points matérialisés sur la carte, mais il sera intéressant par la suite d'extrapoler à des points non matérialisés sur la carte.

Il n'y a volontairement aucune formalisation du problème (incertitude acceptable, etc.), chacun fait comme il veut.
La comparaison des raisonnements des chercheurs devrait valoir le détour (je donnerai ma version après pour ne pas influencer).

[Schliemann]

C'est à mon avis plus facile en considérant les points non matérialisés, qui au moins sont répartis aléatoirement sur la carte.
Si les points sont réellement ponctuels, alors la probabilité est zéro. Il faut considérer que par exemple les "points" sont des petit cercles de 1 mm de diamètre.
Deux points sont toujours alignés. La probabilité recherchée est donc la probabilité que le troisième point soit sur la droite (ou plutôt dans le "double cône") joignant ces deux premiers points.

Le plus simple est à mon avis d'approximer que la surface qui nous intéresse est un cercle couvrant à peu près la France, de centre C= le centre de la 989 et de rayon r=la moitié du côté de la carte.
On peut calculer la distance moyenne entre deux points au hasard à l'intérieur de ce cercle : c'est environ 0,9 r
(voir : http://mathworld.wolfram.com/DiskLinePicking.html )
On place deux "points de 1 mm de diamètre" l'un a droite, l'autre à gauche du centre C, séparés de 0,9 r, et donc à 0,45 r de C.
On trace les deux droites sécantes qui joignent les extrémités supérieure et inférieure de ces points, qui s'intersectent donc en C et déterminent deux secteurs angulaires au sein du disque.
On calcule l'angle α de ces secteurs. Je n'ai pas ma 989 sous la main pour mesurer sa taille, mais si elle fait 1 m de côté, r=500 mm et on a un angle α de 0,25° : https://www.dcode.fr/inconnues-triangle
La probabilité que le troisième point soit dans l'un de ces secteurs est de 0,25 / 180 = 0,0014.
C'est extrêmement approximatif, mais ça donne un ordre de grandeur de 0,14 %

[leuc]

La question est intéressante. Elle a déjà le mérite de me faire prendre conscience que je maîtrise mal le matériel que j'utilise : taille de la carte, nombre de lieux représentés, critères de choix de l'IGN pour représenter telle ou telle ville. 
Cela dit pour satisfaire un objectif de lisibilité, on peut supposer que la surface occupée par les marqueurs (du petit de 1 mm aux gros pâtés jaunes) doit être relativement homogène par unité de surface de carte.
Contrairement a Schliemann, mon intuition allait plutôt vers une forte probabilité à cause de l'expérience suivante : sur la 989, je prends 2 marqueurs de lieux très éloignés sur la 989 (genre 600km). Alors le problème revient a évaluer si la bande de largeur 1mm minimum peut croiser un troisième lieu. Il me semble que cela est très très probable.

Nb: je n'ai rien calculé pour le moment, je voulais juste témoigner d'une première intuition, (une croyance en somme ) avant de chercher plus raisonnablement un résultat chiffré.

[crew]

Il faudrait aussi tenir compte du nombre d'essais. Si on trouve 1 nouveau lieu tous les jours, il y a beaucoup plus de chances de tomber sur un alignement que si on a très peu de lieux.

[Roger6409]

On peut avoir une réponse exacte (ou très proche), concernant les communes. Il suffit de télécharger le fichier des 36k communes et leurs coordonnées GPS (ici, par exemple), et de faire tourner un quelques dizaines de millions de fois un petit algo simple qui prend 2 communes au hasard et vérifie s'il y en a une 3ème au moins dans leur alignement.

Ce ne sera pas applicable directement à la 989, qui n'a pas toutes les communes et indique des objets supplémentaires, mais je ne vois pas la stat finale devenir très différente entre l'exercice avec les communes et le même avec les objets de la 989.

[leuc]

Alors avec des chiffres : si on prend comme surface de la france 643801 km2 et environ 3400 marqueurs de lieu sur la 989 alors la "densité moyenne de marqueurs" serait de 1 marqueur pour 188 km2 (1km2 sur la 989 est un carré de 1mm de coté; 188km2 est un carré d'environ 13.74 mm de coté)
J'ai deux marqueurs d'une épaisseur minimale de 1mm sur la 989; ils sont alignés; la bande minimale qui les relient est donc d'une largeur de 1mm (un peu plus avec des sous prefecture, prefecture et gros patés). 
En prolongeant cette bande aux limites de la france, j'obtiens globalement une aire de 600 à 1000 km2 (en considérant 600 le diametre du cercle inscrit en France et 1000 la plus grande distance NS). Avec 1 marqueur tous les 188 km2 et une répartition relativement homogene à partir de deux marqueurs permettant de traverser la france sur L km alors je devrais en moyenne rencontrer L/188 marqueurs : avec 600 km cela donne 3.2 marqueurs; avec 1000 km, cela donne plus de 5.
Du coup cela a l'air de marcher quelque soit les marqueurs : par exemple, je prends Arromanches et Liffré, je trace la droite les reliant, je mesure la plus longue longueur du segment en France  (dans la cas présent disons 270km environ); 270/188 = 1.43; comme on a déja par choix deux marqueurs alors on ne devrait pas en croiser d'autres.
Par contre si les deux marqueurs permettent d'obtenir une grande longueur de "segment en france" alors il devient très probable de rencontrer d'autres marqueurs.

[Grégoire de la Tour d'ivoire]

Alors avec des chiffres : si on prend comme surface de la france 643801 km2 et ...

La France métropolitaine fait très exactement 551694 km2. Si j'écris "très exactement", c'est qu'une énigme de la Chouette d'or permet de le calculer

L'IGN donne 551695 km2, mais moi je préfère le calcul de la surface du carré inscrit dans un cercle de 33 cm de circonférence et la confirmation de l'encyclopédie Quillet.


Encyclopédie Quillet 1968

[leuc]

Avec cette surface les 188 km deviennent 161.8km

[zarquos]

Airyn tu es vraiment le meilleur
https://lachouette.net/contrib/Airyn/Villes_721.zip

Toutes les villes de la 721 / 989 avec plusieurs types de coordonnées :
- Latitude et Longitude.
- X et Y en projection de Bonne.
- X et Y en pixels sur la carte de Rathéons.

La base de travail idéale pour établir des statistiques d'alignements en s'inspirant de la méthode de Roger 

[Pierraut Le Fou]

Bonjour,
 
Juste pour apporter ma petite pierre à l’édifice.
 
J’ai retrouvé dans le fond d’un de mes répertoires un fichier Excel avec la liste des communes présentes sur la 989 avec leurs coordonnées (Lambert II étendu). Bon, il date un peu (beaucoup) (d’une vingtaine d’années).
 
J’ai donc fait deux macros pour essayer de répondre à la question de Zarquos.
 
Cas 1 :
On tire 3 communes au hasard et on vérifie leur alignement :
-      Résultat : 1 à 2 triplets sur 1000 sont alignés
 
Cas 2 :
On tire 2 communes au hasard, et on recherche toutes les communes qui sont sur la droite passant par ces 2 communes :
-      Résultat : en moyenne, il y a 4 à 6 autres communes alignées
 
En vérifiant quelques alignements avec Mapannot et une carte 989, les résultats semblent assez corrects. Cependant, dans le cas 2, certaines communes trouvées ne sont pas dans le cercle de tolérance, et d’autres non trouvées sont dans le cercle. Cela est peut-être dû à des arrondis de calculs (triangles très plats), erreurs de coordonnées dans le fichier, la carte utilisée avec Mapannot, et surtout que je ne suis pas un cador en math).
 
Pierraut
 
PS : je décline toute responsabilité dans le cas où vous passiez à côté de la Chouette à cause de ces infos.